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【题目】对哪些正整数n,存在正整数 m 及正整数,使得?其中可以相同,且.

【答案】见解析

【解析】

先设 n ≥12 且n不满足要求.设 m为偶数,

.

,且

.

设 l为最小的正整数, 使得.令,其中,t、s为非负整数,.

由于n不满足要求 ,故 r 不可表示为不超过 2l -1个平方和, 且其中每一个不超过.从而,s不可表为不超过个平方和.

当 l≥6 时,由,知.因此,t ≤6.

为非负整数,.

,知.

从而,.

,则s可表为不超过4个平方和,,矛盾;

,则s可给为不超过5个平方和,,矛盾;

,则,s可给为不超过个平方和,矛盾.

因此,l≤5 .

当l=5 时 ,

.

.则.

若 t = 7 ,则由 r ≤112 知 s =0 ,此时,r 可表为7个42之和, 矛盾 ;

若 t = 6 ,验证知当 0 ≤s ≤15 , s ≠7,15时,s可表为 3个平方和,又

,矛盾.

当 l =4 时, 2l-1 =7,

.

若 t ≤4,s ≠7,

则由 s 可表为不超过 3个平方和, 3 ≤2l -1 -t ,矛盾;

若 1 ≤t ≤4,s =7 ,

,矛盾;

若 t = 0 , s = 7 ,

则 r 可表为 7个12之和,矛盾 .

因此 , t ≥5.

从而,

.

当l ≤3 时,.

下面只要考虑 n ≤67.

由于, 故只要考虑 m ≤9 .

表1

m

a(m - a)可能取值

m - 1个形如 a(m - a)之和且小于或等于 67

9

8,14,18,20

64

8

7,12,15,16

49,54,57,58,59,62,63,64,65,66,67

7

6,10,12

36,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66

6

5,8,9

25,28,29,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45

5

4,6

16,18,20,22,24

4

3,4

9,10,11,12

3

2

4

2

1

1

查表 1知不满足要求的 n 为:2 , 3 , 5 , 6 ,7 , 8 , 13 , 14 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , 26 , 27 , 30 , 47 , 51 ,53 , 55 , 61 ,其余 n 均满足要求.

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