Question

12．已知二次函数f（x）=x²-2（2a-1）x+5a²-4a+2．
（1）求f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（2）设f（x）在区间[0，2]上的最大值为g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）配方可得f（x）=（x-2a+1）²+a²+1，当2a-1≥1时，f（x）的最大值为f（0）；当2a-1＜1时，f（x）的最大值为f（2），代值计算可得；
（2）分别可得当a＜1时g（a）＞3；当a≥1时g（a）_min=3，综合可得．

解答 解：（1）配方可得f（x）=（x-2a+1）²+a²+1，
当2a-1≥1即a≥1时，f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（0）=5a²-4a+2；
当2a-1＜1即a＜1时，f（x）在区间[0，2]上的最大值为f（2）=5a²-12a+10；
（2）由（1）知g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}-12a+10，a＜1}\\{5{a}^{2}-4a+2，a≥1}\end{array}\right.$，
当a＜1时g（a）=5a²-12a+10=5（a-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{14}{5}$＞g（1），此时g（a）＞3；
当a≥1时g（a）=5a²-4a+2=5（a-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{6}{5}$，当a=1时g（a）_min=g（1）=3；
综上可得g（a）的最小值为3

点评 本题考查二次函数在闭区间的最值，涉及分类讨论的思想，属中档题．