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点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方, 

(1)求椭圆C的的方程;

(2)求点P的坐标;

(3)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的距离d的最小值。

 

【答案】

(1) ;(2)点P的坐标为

(3)当时,d取最小值 。

【解析】

试题分析:(I)求出双曲线的焦点、顶点,得出椭圆的a,c,b即可求出椭圆标准方程.

(Ⅱ)点P的坐标为(x,y),由已知得,与(x+6)(x-4)+y2=0

解方程组可得点P的坐标

(Ⅲ)设点M是(m,0)于是=|m-6|,解出m=2,建立椭圆上的点到M的距离d的表达式,用函数知识求最值。

(1)已知双曲线实半轴a1=4,虚半轴b1=2,半焦距c1=

∴椭圆的长半轴a2=c1=6,椭圆的半焦距c2=a1=4,椭圆的短半轴=

∴所求的椭圆方程为                    …………4分

(2)由已知,,设点P的坐标为,则

由已知得

              …………6分

,解之得,       

由于y>0,所以只能取,于是,所以点P的坐标为……8分

(3)直线,设点M是,则点M到直线AP的距离是,于是

又∵点M在椭圆的长轴上,即         …………10分

∴当时,椭圆上的点到的距离

   

   ∴当时,d取最小值          …………12分

考点:本题主要考查了圆锥曲线的几何性质、标准方程、距离求解.考查函数知识、方程思想、计算能力.

点评:解决该试题的关键是熟练的运用双曲线的性质来表示出椭圆的a,b,c,进而得到方程,同时联立方程组,结合韦达定理求点的坐标,进而分析最值。

 

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