Question

点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方， 

（1）求椭圆C的的方程；

（2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）点P的坐标为；

（3）当时，d取最小值 。

【解析】

试题分析：（I）求出双曲线的焦点、顶点，得出椭圆的a，c，b即可求出椭圆标准方程．

（Ⅱ）点P的坐标为（x，y），由已知得，与(x+6)(x-4)+y²=0

解方程组可得点P的坐标

（Ⅲ）设点M是（m，0）于是=|m-6|，解出m=2，建立椭圆上的点到M的距离d的表达式，用函数知识求最值。

（1）已知双曲线实半轴a₁=4，虚半轴b₁=2，半焦距c₁=，

∴椭圆的长半轴a₂=c₁=6，椭圆的半焦距c₂=a₁=4，椭圆的短半轴=，

∴所求的椭圆方程为                    …………4分

（2）由已知,，设点P的坐标为，则

由已知得

              …………6分

则，解之得，       

由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为……8分

（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，

又∵点M在椭圆的长轴上，即         …………10分

∴当时，椭圆上的点到的距离

   

又   ∴当时，d取最小值          …………12分

考点：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质、标准方程、距离求解．考查函数知识、方程思想、计算能力．

点评：解决该试题的关键是熟练的运用双曲线的性质来表示出椭圆的a,b,c，进而得到方程，同时联立方程组，结合韦达定理求点的坐标，进而分析最值。