点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,
(1)求椭圆C的的方程;
(2)求点P的坐标;
(3)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
(1) ;(2)点P的坐标为;
(3)当时,d取最小值 。
【解析】
试题分析:(I)求出双曲线的焦点、顶点,得出椭圆的a,c,b即可求出椭圆标准方程.
(Ⅱ)点P的坐标为(x,y),由已知得,与(x+6)(x-4)+y2=0
解方程组可得点P的坐标
(Ⅲ)设点M是(m,0)于是=|m-6|,解出m=2,建立椭圆上的点到M的距离d的表达式,用函数知识求最值。
(1)已知双曲线实半轴a1=4,虚半轴b1=2,半焦距c1=,
∴椭圆的长半轴a2=c1=6,椭圆的半焦距c2=a1=4,椭圆的短半轴=,
∴所求的椭圆方程为 …………4分
(2)由已知,,设点P的坐标为,则
由已知得
…………6分
则,解之得,
由于y>0,所以只能取,于是,所以点P的坐标为……8分
(3)直线,设点M是,则点M到直线AP的距离是,于是,
又∵点M在椭圆的长轴上,即 …………10分
∴当时,椭圆上的点到的距离
又 ∴当时,d取最小值 …………12分
考点:本题主要考查了圆锥曲线的几何性质、标准方程、距离求解.考查函数知识、方程思想、计算能力.
点评:解决该试题的关键是熟练的运用双曲线的性质来表示出椭圆的a,b,c,进而得到方程,同时联立方程组,结合韦达定理求点的坐标,进而分析最值。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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