Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-3a-1}{x-2}，x＜1}\\{-{x}^{2}-2（a-1）x-\frac{1}{6}，x≥1}\end{array}\right.$是定义在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]
• B． [0，$\frac{1}{3}$]
• C． [0，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 由题意根据函数的单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＞0}\\{1-a≤1}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-3a-1}{x-2}，x＜1}\\{-{x}^{2}-2（a-1）x-\frac{1}{6}，x≥1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1-3a}{x-2}，x＜1\\-{x}^{2}-2（a-1）x-\frac{1}{6}，x≥1\end{array}\right.$是定义在（-∞，+∞）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＞0}\\{1-a≤1}\end{array}\right.$，
解得0≤a＜$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．