Question

如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.

(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
(2)求cos∠COD.

Answer 1

（1）见解析   （2）17－12

(1)证明 设平面PAB与平面PCD的交线为l.

因为AB∥CD，AB不在平面PCD内，所以AB∥平面PCD.
又因为AB?平面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，所以AB∥l.
由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行．
(2)设CD的中点为F，连接OF，PF.
由圆的性质，知∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.
因为OP⊥底面，CD?底面，所以OP⊥CD.
又OP∩OF＝O，故CD⊥平面OPF.
又CD?平面PCD，因此平面OPF⊥平面PCD，从而直线OP在平面PCD上的射影为直线PF，故∠OPF为OP与平面PCD所成的角．由题设，∠OPF＝60°.
设OP＝h，则OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.
根据题设有∠OCP＝22.5°，得
OC＝＝.
由1＝tan 45°＝和tan 22.5°＞0，
可解得tan 22.5°＝－1，
因此OC＝＝(＋1)h.
在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－，
故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos²∠COF－1＝2(－)²－1＝17－12.