Question

4．解关于x的不等式ax²-（2a-1）x+a-1＜0（a∈R）．

Answer 1

分析 原不等式可化为（x-1）[ax-（a-1）]＜0，再分类讨论，即可解不等式．

解答 解　原不等式可化为（x-1）[ax-（a-1）]＜0，
（1）当a=0时，原不等式为x-1＜0，即x＜1．
（2）当a≠0时，方程（x-1）[ax-（a-1）]=0的两根为x₁=1，x₂=$\frac{a-1}{a}$，所以1-$\frac{a-1}{a}$=$\frac{1}{a}$．
①当a＞0时，$\frac{1}{a}$＞0，所以1＞$\frac{a-1}{a}$．
此时不等式的解集为{x|$\frac{a-1}{a}$＜x＜1}；
②当a＜0时，$\frac{1}{a}$＜0，所以1＜$\frac{a-1}{a}$．
此时原不等式化为（x-1）[-ax+（a-1）]＞0，不等式的解集为{x|x＞$\frac{a-1}{a}$，或x＜1}．
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为{x|$\frac{a-1}{a}$＜x＜1}；
当a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞$\frac{a-1}{a}$，或x＜1}．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．