Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公比为为q，依题意可得2+2q²=4q+2，解之可得q的值，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{na_n}的前n项的和为S_n，则S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用错位相减法即可求得S_n．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为为q，依题意，a₂=2q，a₃=2q²；
∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
∴a₁+a₃=2（a₂+1），
∴2+2q²=4q+2，
解得q=2或q=0，
∵q≠0，
∴q=2，a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（5分）
（2）设数列{na_n}的前n项的和为S_n，
则S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ（1）
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹（2）…（8分）
（1）-（2）得：
-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2…（14分）

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的性质与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和的应用，属于中档题．