Question

如图所示的四棱锥，SD垂直于正方形ABCD所在的底面，．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）求SB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为坐标原点建立直角坐标系，用坐标分别表示，从而可得其数量积为0，故得证；
（2）用坐标表示，进而可求夹角，由此可求SB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）用坐标表示=（ ，0，），，进而可求异面直线DM与SC所成角
解答：解：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（ ，0，），S（0，0，1）
（1）∵
∴
∴BC⊥SC；
（2）∵
∴
∴SB与底面ABCD所成角的正切值为；
（3）=（ ，0，），
∴
∴异面直线DM与SC所成角为30°
点评：本题以四棱锥为载体，考查空间向量，考查线线垂直，考查线面角，考查线线垂直，关键是构建空间直角坐标系．