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已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A.若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,当
1
m
+
2
n
有最小值时,椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1
的离心率为
 
分析:由题意可得定点A(-2,-1),2m+n=1,把要求的式子化为4+
n
m
+
4m
n
,利用基本不等式求得取得最小值时相应的m,n的值,最后代入椭圆方程即可求得其离心率.
解答:解:∵x=-2时,y=log21-1=-1,
∴函数y=log2(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-2,-1)即A(-2,-1),
∵点A在直线mx+ny+1=0上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,
∵mn>0,
∴m>0,n>0,
1
m
+
2
n
=
2m+n
m
+
4m+2n
n
=2+
n
m
+
4m
n
+2≥4+2•
n
m
4m
n
=8,
当且仅当m=
1
4
,n=
1
2
时取等号.
∴椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1
x2
1
16
+
y2
1
4
=1

离心率为:
3
4
1
2
=
3
2

故答案为:
3
2
点评:本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用,函数图象过定点问题,把要求的式子化为 4+
n
m
+
4m
n
,是解题的关键.
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1
m
+
3
n
的最小值为
4
4

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1
3
2
3
)∪(1,+∞)
1
3
2
3
)∪(1,+∞)

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