Question

【题目】在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）点M的极坐标为或（2）

【解析】

（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.

（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.

（1）设点M在极坐标系中的坐标，

由，得，

∵

∴或，

所以点M的极坐标为或

（2）由题意可设，.

由，得，.

故时，的最大值为.