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已知f(x)定义在R上的函数,对于任意的实数a,b都有f(ab)=af(b)+bf(a),且f(2)=1.
(1)求f()的值
(2)求f(2-n)的解析式(n∈N*
【答案】分析:(1)先对a,b赋值1求出f(1),在利用f(1)=f(2×)即可求出f()的值;
(2)先利用条件找到2nf(2-n)=2n-1f(21-n)-2-1.再利用结论构造出一个等差数列,求出等差数列的通项进而求出f(2-n)的解析式.
解答:解:(1)令a=b=1求得f(1)=0(2分)
又f(1)=f(2×)=2f()+f(2)∴f()=-(5分)
(2)f(2-n)=f(2-1•21-n)=2-1f(21-n)+21-nf(2-1),
∴2nf(2-n)=2n-1f(21-n)-2-1
令bn=2nf(2-n),∴bn=bn-1-2-1,(9分)
∴数列{bn}是以公差d=- b1=2f()=-的等差数列(12分)
∴bn=b1+(n-1)•(-),∴bn=-,∴f(2-n)=-(14分)
点评:一般情况下,当具体的函数解析式没有却要找具体的函数值时,其常用方法是用赋值法.
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