Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）当x=﹣1时，函数f（x）在x=﹣1取得最大值，求实数a的取值范围．
（3）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x∈R，则f（﹣x）=f（x）恒成立，

即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立，

∴|x﹣a|=|x+a|恒成立，

两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2，

∴a=0；

（2）解： ，因为函数y=f（x）在x=﹣1时取得最大值，

当a≥1时，必须f（﹣1）≥f（a），即1+2a≥﹣a2+2a﹣2a，即（a+1）2≥0，所以a≥1适合题意；

当﹣1＜a＜1时，必须f（﹣1）≥f（1），即1+2a≥1﹣2a，即a≥0，所以0≤a＜1适合题意；

当a≤﹣1时，因为f（﹣1）＜f（1），不合题意，

综上，实数a的取值范围是[0，+∞）．

（3）解： ，

， ，

当△1=0时， ，此时函数 有三个零点1， ；

当△2=0时， ，此时函数 有三个零点 ；

当△1＞0，△2＞0时，即 时，方程﹣x2+2x﹣2a=0的两根为 ，

方程﹣x2﹣2x+2a=0的两根为 ，

因为 ，所以 且 ，解得a=0，

或者 且 ，此时无解，

综上得 或0．

【解析】（1）由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），化简整理可得a=0；（2）去绝对值，运用分段函数的形式，写出f（x），讨论当a≥1时，当﹣1＜a＜1时，当a≤﹣1时，考虑最大值，解不等式即可得到a的范围；（3）去绝对值，运用分段函数的形式，写出f（x），讨论两个二次函数的判别式，等于0或大于0，解方程（或不等式）即可得到a的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．