Question

如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上的一动点．
(1)求证：平面PAC⊥平面NEF；
(2)若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值；
(3)当M的是PA中点时，求二面角M－EF－N的余弦值．

Answer 1

解：法1：（1）连结，
∵平面，平面，
∴，……………………… 1分
又∵，，
∴平面，…………………. 2分
又∵，分别是、的中点，
∴，………………………….3分
∴平面，又平面，
∴平面平面；……………4分
（2）连结，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 ………………………………………8分
（3）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，点为的中点，∴，
∴为所求二面角的平面角， ……………………………9分
∵点是的中点，∴，
所以在矩形中，
可求得，，，………………………10分
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值为．……………………………………12分
法2：（1）同法1；
（2）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
∴，，
设点的坐标为，平面的法向量为，则，
所以，即，令，则，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即点为线段上靠近的四等分点；
故 …………………………………………………………………8分
（3），则，设平面的法向量为，
则，即，………9分
令，则，，
即，……………………………10分
当是中点时，，
则，
∴，
∴二面角的余弦值为．……12分

略