Question

如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．定义在[1，e]上的函数f（x）=2x-1+lnx的下确界M=

1

．

Answer 1

分析：根据题中函数下界和下确界的定义，得到函数的下确界是小于或等于函数f（x）在其定义域内的最小值的那个常数，然后利用导数研究函数f（x）=2x-1+lnx的单调性，得到它在区间[1，e]上是增函数，最小值为f（1）=1，从而得到函数的下确界M=1．

解答：解：∵对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），
∴函数f（x）定义域内任意的x，[f（x）]_min≥M
∵M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．
∴下确界是小于或等于函数f（x）在其定义域内的最小值的常数
对于f（x）=2x-1+lnx，求导数得：f'（x）=2+

1

x

，其中x∈[1，e]
∵

1

x

∈[

1

e

，1]，
∴f'（x）≥2+

1

e

＞0
∴f（x）在区间[1，e]上是增函数，故[f（x）]_min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴对任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函数的下界为小于或等于1的数，其中最大值为1，因此下确界M=1
故答案为：1

点评：本题以函数的下界和下确界为载体，着重考查了函数的单调性与最值的求法，考查了对不等式恒成立的理解，属于中档题．