Question

（2011•广东模拟）已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（其中e为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．
（II）当x=0时，显然f（x）=e^x＞0恒成立；当x大于0时，令f（x）大于0，解出a大于一个函数，设这个函数为Q（x），求出Q（x）的导函数，分x大于0小于1和x大于1两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的增减性，根据函数的增减性得到Q（x）的最大值，即可得到a的取值范围；
（III）把f（x）和g（x）的解析式代入y中确定出y的解析式，设M（x）为y的解析式，求出M（x）的导函数，h（x）=

1

x

+lnx-1，求出h（x）的导函数，由x的范围得到导函数为正数，进而得到h（x）在[1，e]上为增函数，得到h（1）为最小值，即可得到M（x）的最小值，而曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，即切线的斜率为0，即导函数的值为0，与导函数的最小值为1矛盾，所以不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+a，（1分）
因此y=f（x）在（1，f（1））处的切线l的斜率为e+a，（2分）
又直线x+（e-1）y=1的斜率为

1

1-e

，（3分）
∴（e+a）•

1

1-e

=-1，
∴a=-1．（5分）
（Ⅱ）∵当x≥0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
∴先考虑x=0，此时，f（x）=e^x，a可为任意实数；（6分）
又当x＞0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
则a＞-

ex

x

恒成立，（7分）
设h（x）=-

ex

x

，则h'（x）=

(1-x)ex

x2

，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
故当x=1时，h（x）取得极大值，h（x）_max=h（1）=-e，（9分）
∴要使x≥0，f（x）＞0恒成立，a＞-e，
∴实数a的取值范围为（-e，+∞）．（10分）
（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为y=e^xlnx-e^x+x，
令u（x）=e^xlnx-e^x+x，则u′(x)=

ex

x

+exlnx-ex+1=(

1

x

+lnx-1)ex+1
设v(x)=

1

x

+lnx-1，则v′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
当x∈[1，e]，v'（x）≥0，故v（x）在[1，e]上的最小值为v（1）=0，（12分）
所以v（x）≥0，又e^x＞0，∴u′(x)=(

1

x

+lnx-1)ex+1＞0，
而若曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，
则u'（x₀）=0，矛盾．（13分）
所以，不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两条直线垂直的判定，掌握导数在最大值、最小值中的运用，是一道中档题．