Question

一条双曲线

x2

4

-y2=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A₁M与A₂N交点的轨迹E的方程式；
（2）设直线l与曲线E相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-2，0），若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且

QA

•

QB

=4．求y₀的值．

Answer 1

分析：（1）由A1M：y=

y1

x1+2

(x+2)，A2N：y=

-y1

x1-2

(x-2)，两式相乘得-y2=

y 2 1

x 2 1 -4

(x2-4)，而点M（x₁，y₁）在双曲线上，所以

y12

x12-4

=

1

4

，由此能求出轨迹E的方程．
（2）由（1）可知A（-2，0）．设B点的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），于是A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

，从而y1=

4k

1+4k2

，由此入手能够求出y₀的值．

解答：解：（1）由A1M：y=

y1

x1+2

(x+2)，A2N：y=

-y1

x1-2

(x-2)，…（2分）
两式相乘得-y2=

y 2 1

x 2 1 -4

(x2-4)，而点M（x₁，y₁）在双曲线上，所以

y12

x12-4

=

1

4

…（2分）
所以轨迹E的方程为

x2

4

-

y2

2

=1．…．（1分）
（2）解：由（1）可知A（-2，0）．设B点的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），
于是A，B两点的坐标满足方程组

y=k(x+2) x2 4 - y2 2 =1

，
由方程组消去y并整理，得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0，…（1分）
由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

，从而y1=

4k

1+4k2

，
设线段AB是中点为M，则M的坐标为（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），…（1分）
①当k=0时，点B的坐标为（2，0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(2，-y0)，由

QA

•

QB

=4，得y0=± 2

2

．…（1分）
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为Y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)，
令x=0，解得y0=

-6k

1+4k2

，由

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(x1，y1-y0)，

QA

•

OB

=-2x1-y0(y1-y0)
=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，…（2分）
整理得7k²=2，故k=±

14

7

，∴y0=±

2 14

5

．
综上y0=±2

2

或y0=±

2 14

5

．…（2分）

点评：本题考查双曲线方程和椭圆方程的求法，考查双曲线方程和椭圆方程的简单性质以直线和圆锥曲线的位置关系的综合应用，查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．