Question

已知抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2），其焦点F在y轴上，直线y=kx+2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．

Answer 1

依题意，设抛物线C的方程为y=ax²，
（Ⅰ）∵点A（1，2）在抛物线C上，∴a=1．
∴抛物线C的方程为y=2x²．…（4分）
（Ⅱ）如图，设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得：2x²-kx-2=0，
由韦达定理得：x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=-1，∴x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
即N点的坐标为（

k

4

，

k2

8

）．…（8分）
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-

k2

8

=m（x-

k

4

），
将y=2x²代入上式得：2x²-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直线l与抛物线C相切，所以△=m²-8（

mk

4

-

k2

8

）=m²-2mk+k²=（m-k）²=0，
∴m=k，即l∥AB．…（12分）