Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当二面角D-EF-C的大小为

π

3

时，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，根据已知中矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=

π

2

，AD=

3

，EF=2．可得AE∥DG，结合线面平行的判定定理，即可得到AE∥平面DCF；
（2）连接DE，由已知中DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，可得DC⊥平面BCFE，故∠DEC为二面角D-EF-C的一个平面角，即∠DEC=

π

3

，解三角形EFG及三角形DCE，即可得到AB的长．

解答：（1）证明：过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，
可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形
所以AD∥EG且AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形
故AE∥DG
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF
所以AE∥平面DCF
（2）解：连接DE，∵DC⊥BC，平面ABCD⊥平面BCFE，∴DC⊥平面BCFE
∵∠CEF=

π

2

∴DE⊥EF，故∠DEC为二面角D-EF-C的一个平面角
在Rt△EFG中，因为EG=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°．
又因为CE⊥EF，所以CE=2

3

，在Rt△DCE中，DC=CE•tan∠DEC=2

3

×

3

=6，即AB=6

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，与二面角有关的立体几何综合题，本题的综合的知识点较多大，难度中等偏上，特别是与二面角相关的知识点考查，难度较大．