Question

（2008•佛山二模）已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（x）=x²在[0，+∞）是增函数，f（n）=n²，即n²=n，由此求得n的值，从而求得函数的保值区间
（2）由题意可得a＞0，g(x)=

1 x -1，(0，1) 1- 1 x ，[1，+∞)

．当实数a，b∈（0，1）时，利用单调性可得a、b不存在．当实数a，b∈[1，+∞）时，可得不存在满足条件的实数a，b．当a∈（0，1），b∈[1，+∞），可得a、b不存在，由以上得出结论．

解答：解：（1）∵f（x）=x²≥0，∴n≥0，又f（x）=x²在[0，+∞）是增函数，故f（n）=n²，n²=n，∴n=0，或 n=1．
∴函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间有[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）假设存在实数a，b使得函数g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间，
则a＞0，g(x)=

1 x -1，(0，1) 1- 1 x ，[1，+∞)

．
1⁰当实数a，b∈（0，1）时，g(x)=

1

x

-1，(0，1)，此时，g（x）为减函数，
故

g(a)=b g(b)=a

，即

1 a -1=b 1 b -1=a

，∴a=b与a＜b矛盾．
2⁰当实数a，b∈[1，+∞）时，
g(x)=1-

1

x

，∈[1，+∞)，此时，g（x）为为增函数，故

g(a)=a g(b)=b

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b

，
得方程1-

1

x

=x在[1，+∞）上有两个不等的实根，而1-

1

x

=x，即x²-x+1=0无实根，
故此时不存在满足条件的实数a，b．
3⁰当a∈（0，1），b∈[1，+∞），
∵1∈（a，b），而g（1）=0．
故此时不存在满足条件的实数a，b．
综上述，不存在实数a，b使得函数g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间．

点评：本题主要考查函数的定义域和值域的求法，函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．