Question

3．一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产A、B两种奶制品，如用甲类设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电8千瓦时，可得4千克B制品．根据市场需求，生产的A、B两种奶制品能全部售出，每千克A获利a元，每千克B获利b元．现在加工厂每天最多能得到50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千克A制品，乙类设备的加工能力没有限制．其生产方案是：每天用x桶牛奶生产A制品，用y桶牛奶生产B制品（为了使问题研究简化，x，y可以不为整数）．
（Ⅰ）若a=24，b=16，试为工厂制定一个最佳生产方案（记此最佳生产方案为F₀），即x，y分别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；
（Ⅱ） 随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波动．若a=24（1+4λ），b=16（1+5λ-5λ²）（这里0＜λ＜1），其它条件不变，试求λ的取值范围，使工厂当且仅当采取（Ⅰ）中的生产方案F₀时当天获利才能最大．

Answer 1

分析 （1）设相应的获利为z，列出可行域，目标函数，分别求出目标函数的最大获利即可．
（Ⅱ）（Ⅱ）为使z当且仅当x=20，y=30时取最大值，则直线z=3ax+4by的斜率-$\frac{3a}{4b}$满足-$\frac{12}{8}＜-\frac{3a}{4b}＜-1$所以$\frac{4}{3}＜\frac{a}{b}＜2，\frac{8}{9}＜\frac{1+4λ}{1+5λ-5{λ}^{2}}＜\frac{4}{3}$，$\left\{\begin{array}{l}{40{λ}^{2}-4λ+1＞0}\\{20{λ}^{2}-8λ-1＜0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{-\frac{1}{10}＜λ＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即可

解答 解：设工厂每天的获利为z元，由已知得z=3ax+4by，且
$\left\{\begin{array}{l}{12x+8y≤480}\\{x+y≤50}\\{3x≤102}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图所示．
（1）z=3ax+4by=72x+64y，当）z=72x+64y对应直线过点（20，30）时，z取最大值3360．
（Ⅱ）为使z当且仅当x=20，y=30时取最大值，则直线z=3ax+4by的斜率-$\frac{3a}{4b}$满足-$\frac{12}{8}＜-\frac{3a}{4b}＜-1$
所以$\frac{4}{3}＜\frac{a}{b}＜2，\frac{8}{9}＜\frac{1+4λ}{1+5λ-5{λ}^{2}}＜\frac{4}{3}$，

∴$\left\{\begin{array}{l}{40{λ}^{2}-4λ+1＞0}\\{20{λ}^{2}-8λ-1＜0}\end{array}\right.$
⇒$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{-\frac{1}{10}＜λ＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，又因为0＜λ＜1∴0＜λ＜$\frac{1}{2}$
故λ的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查了线性规划的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．．