Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=

3

2

．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在实数m，n，使x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]？若存在，则求出这样的实数m，n；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=

3

2

．我们可知函数的图象是开方方向朝上的抛物线且以（1，1）为顶点，且过（0，

3

2

）点，由此可以构造关于a，b，c的方程组，解方程组，即可得到答案．
（2）由（1）中的结论，我们易函数的角析式及函数的值域，进而得到n＞m≥1，则f（x）在区间[m，n]上单调增，则x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]可转化为方程f（x）=x，有两个不小于1的不等实根，由此可在得到对应m，n的值．

解答：解：（1）由题意，得：

a＞0 - b 2a =1 f(1)=a+b+c=1 f(0)=c= 3 2

（4分）
解之得：a=

1

2

，b=-1，c=

3

2

，（7分）
（2）∴f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

(x-1)2+1（8分）
从而，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）（10分）
由f（x）取得最小值1，得1≤m＜n，（11分）
所以，f（x）在区间[m，n]上单调增，（12分）
故

f(m)=m f(n)=n

（13分）
即m，n是方程f（x）=x，即

1

2

x2-2x+

3

2

=0的两不小于1的不等实根，┉┉（15分）
∴m=1，n=3（16分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的定义域及其求法，函数的值域，函数的最值及其几何意义，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，以及二次函数各系数的作用是解答本题的关键．