Question

【题目】已知函数 （a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若1是函数y=f（x）+x的零点，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即 ，

即 ，

所以 ，

故有m2=4，所以m=±2，

当m=﹣2时， =﹣1＜0不成立，

当m=2时， ，经验证成立，

所以m=2

（2）解：由（1）知 ，

∵1是函数y=f（x）+x的零点，

∴f（1）+1=0，

即 ，

即loga3=1，

解得a=3

【解析】（1）根据奇函数满足f（-x）+f（x）=0列出方程解出m，并检验；（2）当x0是函数f（x）的零点时，f（x0）=0.
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质和函数的零点与方程根的关系是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．