Question

设m，n∈Z，已知函数f（x）=log₂（-|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=________．

Answer 1

1
分析：由关于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log₂（-|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log₂（-|x|+4）的性质，可求出n的值，进而得到答案．
解答：∵f（x）=log₂（-|x|+4）的值域是[0，2]，
∴（-|x|+4）∈[1，4]
∴-|x|∈[-3，0]
∴|x|∈[0，3]…①
若若关于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的实数解
则m=-2
又由函数f（x）=log₂（-|x|+4）的定义域是[m，n]，
结合①可得n=3
即：m+n=1
故答案：1
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2^|1-x|+1=-m有唯一的实数解，即-m为函数y=2^|1-x|+1的最值，是解答本题的关键．