Question

【题目】如图，椭圆：的离心率是，长轴是圆：的直径.点是椭圆的下顶点，，是过点且互相垂直的两条直线，与圆相交于，两点，交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当的面积取最大值时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得，解可得、的值，将其值代入椭圆的方程即可得答案；

（2）设，，，直线的方程为，由直线与圆的位置关系分析可得；联立直线与椭圆的方程，分析可得，进而可得的面积为，结合基本不等式的性质分析可得答案．

解：（1）由题意得：，解得：，，

所以椭圆的方程为.

（2）设，，.由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，

则直线的方程为.

又圆：，故点到直线的距离，

所以.

又，故直线的方程为.

由，消去，整理得，故.

所以由弦长公式得.

设的面积为，则，

所以，

当且仅当时取等号.所以所求直线的方程为.