Question

（2013•丽水一模）已知四边形ABEF是矩形，△ABC是等腰三角形，平面ABEF⊥平面ABC，∠BAC=120°，AB=

1

2

AF=4，CN=3NA，M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）在线段AB上是否存在点R，使得平面PQR⊥平面BMN？若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得到AF⊥AB，以A为坐标原点建立空间坐标系，由题目条件求得各点的坐标，求出平面BMN的一个法向量，然后求向量

PQ

与平面BMN的法向量的数量积，数量积等于0，且PQ不在平面BMN内，则有直线PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）假设在线段AB上是否存在点R，使得平面PQR⊥平面BMN设出点R的坐标，求出平面PQR的一个法向量，由两个平面的法向量的数量积等于0求得R的坐标，符合实际意义，即R点在线段AB上，由此得出结论．

解答：证明：（Ⅰ） 因为四边形ABEF是矩形，平面ABEF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB．
如图建立空间直角坐标系

由AB=AC=4，AF=2AB=8，CN=3AN，∠BAC=120°，
且M，P，Q分别是AF，EF，BC的中点得：
A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(-2，2

3

，0)，F(0，0，8)，E(4，0，8)，
P(2，0，8)，Q(1，

3

，0)，M(0，0，4)，N(-

1

2

，

3

2

，0)
设平面BMN的法向量

n

=(x，y，z)
则

n • BN =0 n • BM =0

⇒

- 9 2 x+ 3 2 y=0 -4x+4z=0

，
令x=1，则

y=3 3 z=1

，所以 

n

=(1，3

3

，1)
又

PQ

=(-1，

3

，-8)，
而 

n

•

PQ

=-1+9-8=0
所以 

n

⊥

PQ

，又PQ?平面BMN
所以PQ∥平面BMN．
（Ⅱ） 存在点R，使平面PQR⊥平面BMN．
证明：假设在线段AB上存在点R，使平面PQR⊥平面BMN
设R（λ，0，0）（0≤λ≤4），平面PQR的法向量为

m

=(x1，y1，z1)
则

m • PQ =0 m • PR =0

⇒

-x1+ 3 y1-8z1=0 (λ-2)x1-8z1=0

，令 x1=

3

则

y1=λ-1 z1= 3 (λ-2) 8

，所以

m

=(

3

，λ-1，

3 (λ-2)

8

)．
若平面PQR⊥平面BMN，则

m

•

n

=0
即

3

+3

3

(λ-1)+

3 (λ-2)

8

=0
得：λ=

18

25

所以，存在点R，使平面PQR⊥平面BMN，且AR=

18

25

．

点评：本题考查了直线与平面，平面与平面垂直的判定，考查了向量法正题，如果两个平面的法向量相互垂直，则两个平面相互垂直，解答此类问题的关键建立正确的空间坐标系，并能准确的求出所用点的坐标，此题是中档题．