如果f(x)是定义在R上的函数.且对任意的x∈R.均有f.则称该函数是“X-函数．(Ⅰ)分别判断下列函数:①y=2x,②y=x+1, ③y=x2+2x-3是否为“X-函数 ?=sinx+cosx+a是“X-函数 .求实数a的取值范围,=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1.x∈A}\\{x.x∈B}\end{array}\right.$是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“X-函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2^x；②y=x+1； ③y=x²+2x-3是否为“X-函数”？（直接写出结论）
（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X-函数”，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，x∈A}\\{x，x∈B}\end{array}\right.$是“X-函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．

分析（Ⅰ）根据“X-函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X-函数”；
（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（-x）≠-f（x），利用不等式求出a的取值范围；
（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；
（2）用反证法说明（-∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；
（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．

解答解：（Ⅰ）①、②是“X-函数”，③不是“X-函数”；----（2分）
（说明：判断正确一个或两个函数给1分）
（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（-x）≠-f（x），即f（-x）+f（x）≠0；
因为f（x）=sinx+cosx+a，
所以f（-x）=-sinx+cosx+a，
故f（x）+f（-x）=2cosx+2a；
由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠-cosx；---（4分）
又cosx∈[-1，1]，
所以实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；---（5分）
（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，
（i）若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），
这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），
（ii）若x∈B且-x∈B，则f（-x）=-x=-f（x），
这与y=f（x）是“X-函数”矛盾，（舍去）；
此时，由y=f（x）的定义域为R，
故对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B；
（2）假设存在x₀＜0，使得x₀∈A，则由x₀＜$\frac{{x}_{0}}{2}$，故f（x₀）＜f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）；
（i）若$\frac{{x}_{0}}{2}$∈A，则f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+1＜${{x}_{0}}^{2}$+1=f（x₀），矛盾，
（ii）若$\frac{{x}_{0}}{2}$∈B，则f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=$\frac{{x}_{0}}{2}$＜0＜${{x}_{0}}^{2}$+1=f（x₀），矛盾；
综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（-∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；
（3）假设0∈B，则f（-0）=-f（0）=0，矛盾，故0∈A；
故A=[0，+∞），B=（-∞，0]；
经检验A=[0，+∞），B=（-∞，0），符合题意．---（8分）

点评本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．

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