Question

（2012•温州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F，G，H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设

OP

=λ

OF

，

CQ

=λ

CF

（λ≠0）．
（Ⅰ）求直线EP与GQ的交点M的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过圆x²+y²=r²（0＜r＜2）上一点N作圆的切线与轨迹Γ交于S，T两点，若

NS

•

NT

+r2=0，试求出r的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）交轨法：设M（x，y），由向量关系可得P、Q点的坐标，用λ表示出直线EP、GQ的方程，消掉参数λ即得点M的轨迹方程；
（Ⅱ）由

NS

•

NT

+r2=0，得|NS||NT|=|ON|²，又由ON⊥ST，得OS⊥OT，设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0（*），设直线ST：y=kx+m（m≠±2），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，把韦达定理代入（*得）式得关于k，m的方程；再由直线ST与圆相切得r=

|m|

1+k2

，两方程联立即可求得r值；

解答：解：（I）设M（x，y），由已知得P（4λ，0），Q（4，2-2λ），
则直线EP的方程为y=

x

2λ

-2，直线GQ的方程为y=-

λx

2

+2，
消去λ即得M的轨迹Γ的方程为

x2

16

+

y2

4

=1(x≠0)．
（II）由

NS

•

NT

+r2=0，得|NS||NT|=|ON|²，又ON⊥ST，则OS⊥OT，
设直线ST：y=kx+m（m≠±2），代入

x2

16

+

y2

4

=1得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-16

1+4k2

．
由OS⊥OT得x₁x₂+y₁y₂=0，即km（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0，
则5m²=16（1+k²）①，
又O到直线ST的距离为r=

|m|

1+k2

②，
联立①②解得r=

4 5

5

∈（0，2）．
经检验当直线ST的斜率不存在时也满足．
故r的值为

4 5

5

．

点评：本题考查交轨法求轨迹方程、椭圆方程、直线与圆位置关系及直线与椭圆的位置关系等知识，考查方程思想，考查学生解决问题的能力，解决（II）问的关键是根据条件分析出OS⊥OT，从而得到等量关系．