Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数C（x）=460x+5000（单位：万元）
（1）求利润函数P（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

Answer 1

解：（1）根据利润=产值-成本，因为造船x艘的产值函数为R（x）=3700x+45x²-10x³，成本函数C（x）=460x+5000
所以P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N^*，且1≤x≤20）；
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0时，x=12，
∴当0＜x＜12时，P′（x）＞0，当x＞12时，P′（x）＜0，
∴x=12时，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
分析：（1）根据利润=产值-成本，利用已知中的产值函数与成本函数，可得得出利润函数P（x）；
（2）先对利润函数P（x）求导数，研究它的单调性，从而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大．
点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．