Question

12．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$（a，b是常数）是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若对于任意$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为R上的奇函数便有$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，这样即可求出a，b，从而得出$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$；
（2）分离常数得到$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可看出f（x）在R上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在R上单调递减；
（3）根据f（x）为奇函数且为减函数便可得到kx²＜1-2x对任意$x∈[\frac{1}{2}，3]$恒成立，从而有$k＜\frac{1-2x}{{x}^{2}}$对任意$x∈[\frac{1}{2}，3]$恒成立，可设$g（x）=\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，求导数g′（x），根据导数符号便可得出x=1时，g（x）取最小值-1，从而得出k的取值范围．

解答 解：（1）f（x）为R上的奇函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{-1+b}{2+a}=0}\\{f（-1）=\frac{-\frac{1}{2}+b}{1+a}=-\frac{-2+b}{4+a}}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=1；
∴$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$；
（2）$f（x）=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
x增大时，f（x）减小，f（x）在R上为减函数，证明如下：
设x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减；
（3）f（x）为R上的奇函数，∴由f（kx²）+f（2x-1）＞0得：f（kx²）＞f（1-2x）；
又f（x）单调递减；
∴kx²＜1-2x对任意$x∈[\frac{1}{2}，3]$恒成立；
∴$k＜\frac{1-2x}{{x}^{2}}$对任意x$∈[\frac{1}{2}，3]$恒成立；
设g（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，$g′（x）=\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$；
∴$x∈[\frac{1}{2}，1）$时，g′（x）＜0，x∈（1，3]时，g′（x）＞0；
∴x=1时，g（x）取到最小值-1；
∴k＜-1；
∴实数k的取值范围为（-∞，-1）．

点评 考查奇函数、减函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，分离常数法的运用，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据导数符号求函数的最值的方法．