Question

已知方程sinx+cosx+a=0在区间[0，2π]上有且只有两个不同的解，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

a∈（-2，-）∪（-，2）
分析：由已知中方程sinx+cosx+a=0，我们根据正弦型函数的图象和性质，易分析出a=-（sinx+cosx）在区间[0，2π]上的图象和性质，进而分析出a取不同值时，方程sinx+cosx+a=0解的个数，进而得到答案．
解答：∵sinx+cosx+a=0
∴a=-（sinx+cosx）=-2sin（x+）∈[-2，2]
当a=±2时，方程sinx+cosx+a=0有唯一的解；
当a=时，方程sinx+cosx+a=0有三个不同的解；
当a∈（-2，-）∪（-，2）时，方程sinx+cosx+a=0有两个不同的解；
故满足条件的实数a的取值范围是a∈（-2，-）∪（-，2）
故答案为：a∈（-2，-）∪（-，2）
点评：本题考查的知识点是正弦函数的值域，方程根与函数零点的个数的关系，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答本题的关键．