分析 (1)当a=-1,x∈[1,e]时,f(x)=x2-x-lnx,求导数,确定单调性,即可求f(x)在[1,e]上的最大值;
(2)当a>0时,分类讨论求函数f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≥0恒成立,分类讨论求实数a的取值范围.
解答 解:(1)当a=-1,x∈[1,e]时,f(x)=x2-x-lnx,
∴$f′(x)=\frac{(x-1)(2x+1)}{x}$≥0,
∴f(x)在[1,e]上的最大值f(e)=e2-e-1;
(2)x≥1,f(x)=x2-x+alnx,a>0,f′(x)=2x-1+$\frac{a}{x}$>0,
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,
0<x<1,f′(x)=$\frac{-2{x}^{2}+x+a}{x}$
a≥1,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;
0<a<1,f(x)在(0,$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$)上单调递增,($\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$,1)上单调递减;
(3)①a≥0,x≥1,f(x)≥0恒成立
0<x<1,a≥1,f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;
0<a<1,f(x)在(0,$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$)上单调递增,($\frac{1+\sqrt{1+8a}}{4}$,1)上单调递减,不合题意;
a=0,f(x)≥0恒成立;
②a<0,0<x<1,f(x)≥0恒成立
x≥1,f(x)=x2-x+alnx,a>0,f′(x)=$\frac{2{x}^{2}-x+a}{x}$,
-1≤a<0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,符合题意;
a<-1,f(x)在(0,$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$)上单调递减,($\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4}$,1)上单调递增,不合题意.
点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,正确利用导数是关键.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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