Question

已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x²交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）若三角形AOB的面积为2，求直线l的方程．
（3）是否存在实数k，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线l：y=kx+1与抛物线y=x²联立，求出OA，OB的向量，利用韦达定理可得结论；
（2）设出A，B的坐标，表示出面积，将p+q=k pq=-1代入，即可得到结论；
（3）假设存在，利用对称性，可得结论．

解答：（1）证明：直线l：y=kx+1与抛物线y=x²联立，可得x²-kx-1=0
设A点坐标为（p，p²），B点坐标为（q，q²），则直线OA的斜率为

p2

p

=p，直线OB的斜率为

q2

q

=q
因为p，q是方程x²-kx-1=0得两个解，根据韦达定理得p+q=k，pq=-1
所以OA⊥OB
（2）解：因为A，B在y=kx+1上，
所以A点坐标又可表示为（p，kp+1），B可表示为（q，kq+1），
∵|OA|²=p²+p⁴，|OB|²=q²+q⁴，
∴S_△AOB²=

1

4

|OA|²•|OB|²=

1

4

（p²+p⁴）（q²+q⁴）
∴p²q²+p²q²q²+p²p²q²+p⁴q⁴=16
将pq=-1代入得（-1）²+（-1）²q²+p²（-1）²+（-1）⁴=16
∴p²+q²=14
∴p²+q²+2pq=14+2pq
∴（p+q）²=12
∴k²=12，∴k=±2

3

；
（3）解：若存在，则

q2-p2

q-p

•

1

2

=-1，∴q+p=-2，即k=-2．
∵AB的中点为（

p+q

2

，

p2+q2

2

）
∴

p2+q2

2

=

1

2

•

p+q

2

∵q+p=-2，∴上式显然不成立
故不存在实数k，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．