Question

已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+2，
（1）若函数f（x）的值域为[1，+∞），求实数a的值；
（2）若函数f（x）的递增区间为[1，+∞），求实数a的值；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数的最值求法列出关于a的方程，即可求出a的值；
（2）利用二次函数的单调性在对称轴处分开，结合图形列出等式，即可求出a的值．
（3）由解析式先求出对称轴，再使对称轴在区间的右侧列出不等式，求出a的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2=（x+a-1）²+2-（a-1）²≥2-（a-1）²，
∵函数f（x）的值域为[1，+∞），
∴2-（a-1）²=1
∴a=0或a=2
（2）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2对称轴为x=a-1，
∵若函数f（x）的递增区间为[1，+∞），
∴a-1=1，
∴a=2；
（3）由题意知，f（x）=x²+2（a-1）x+2对称轴为x=a-1，
∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴a-1≤1，解得a≤2．

点评：本题考查二次函数的单调性、二次函数最值的求法．二次函数的单调性，即由图象的开口方向和对称轴，判断函数的单调性．