Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为 F₁（-1，0），F₂（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为

3

3

，动点P到F₁，F₂的距离的平方和为6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若C(

3

，

，3

)，D(-

3

，

，3

)，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．
（i）当直线AQ的斜率为

1

2

时，求△AMN的面积；
（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．

Answer 1

分析：（1）利用动点P到F₁，F₂的距离的平方和为6，建立方程，化简可得P的轨迹方程；
（2）确定椭圆的方程，求出M、N的坐标，（ i）当直线AQ的斜率为

1

2

时，直线方程与椭圆方程联立，表示出三角形的面积，即可求△AMN的面积；（ii）表示出DM，CN，计算DM•CN，可得定值．

解答：（1）解：设P（x，y），则PF12+PF22=6，
即（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=6，整理得，x²+y²=2，
所以动点P的轨迹方程为x²+y²=2．…（4分）
（2）解：由题意知，

a2-b2=1 1 a = 3 3

，解得

a= 3 b2=2

，
所以椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．  …（6分）
则A(-

3

，0)，B(

3

，0)，设Q（x₀，y₀），y₀＞0，则2x02+3y02=6，
直线AQ的方程为y=

y0

x0+ 3

(x+

3

)，令y=

3

，得M(

3 x0- 3 y0+3

y0

，

3

)，
直线BQ的方程为y=

y0

x0- 3

(x-

3

)，令y=

3

，得N(

3 x0+ 3 y0-3

y0

，

3

)，
（ i）当直线AQ的斜率为

1

2

时，有

y0 x0+ 3 = 1 2 2x02+3y02=6

，消去x₀并整理得，11y02-8

3

y0=0，解得y0=

8 3

11

或y₀=0（舍），…（10分）
所以△AMN的面积S△AMN=

3

2

×MN=

3

2

×|

3 x0- 3 y0+3

y0

-

3 x0+ 3 y0-3

y0

|=3×|

3 -y0

y0

|=

9

8

．   …（12分）
（ii）DM=|

3 x0- 3 y0+3

y0

+

3

|=|

3 x0+3

y0

|，CN=|

3 x0+ 3 y0-3

y0

-

3

|=|

3 x0-3

y0

|，
所以DM•CN=|

3 x0+3

y0

|•|

3 x0-3

y0

|=|

3x02-9

y02

|=|

3x02-9

6-2x02 3

|=

9

2

．
所以对任意的动点Q，DM•CN为定值，该定值为

9

2

．    …（16分）

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，综合性强．