Question

已知直线l经过椭圆

y2

2

+x2=1的焦点并且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M，则△MPQ面积的最大值为

3 6

8

．

Answer 1

分析：设出直线的方程利用直线与椭圆联立方程组，求出AB的距离，求出AB的中点与M的距离，推出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值即可．

解答：解：由题意可知直线的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx+1，M（m，0）；
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

．
可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

．
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（

-k

k2+2

，

2

k2+2

），直线MN的方程为：y-

2

k2+2

=-

1

k

（x-

-k

k2+2

），
m=

k

k2+2

，M（

k

k2+2

，0），|MN|=

( -k k2+2 - k k2+2 )2+( 2 k2+2 )2

 =

2 k2+1

k2+2

，
|PQ|=

1+k2

•

( -2k k2+2 )2+ 4 k2+2

=

2 2 (k2+1)

k2+2

△MPQ的面积为

1

2

|PQ|•|MN|=

1

2

×

2 2 (k2+1)

k2+2

×

2 k2+1

k2+2

=

2 2 (k2+1) k2+1

(k2+2)2

令t=

k2+1

≥1，
g（t）=

t3

(t2+1)2

．g′（t）=

3t2(t2+1)-4t4(t2+1)

(t2+1)4

，
令g′（t）=0，可得t=

3

时，三角形的面积最大，
所以所求面积的最大值为：

2 2 ( 3 )3

(3+1)2

=

3 6

8

．
故答案为：

3 6

8

．

点评：本题考查m的取值范围和求△MPQ面积的最大值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．