Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义域为（-1，1）上的奇函数，且f(1)=

1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）若实数t满足f（2t-1）+f（t-1）＜0，求实数t的范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，再据f(1)=

1

2

可求出a的值．
（2）利用增函数的定义可以证明，但要注意四步曲“一设，二作差，三判断符号，四下结论”．
（3）利用函数f（x）是奇函数及f（x）在（-1，1）上是增函数，可求出实数t的范围．

解答：解：（1）函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义域为（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）
又f（1）=

1

2

，∴a=1；…（5分）
∴f(x)=

x

1+x2

…（5分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则x₂-x₁＞0，
于是f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，
又因为-1＜x₁＜x₂＜1，则1-x₁x₂＞0，

x

2 1

+1＞0，

x

2 2

+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（2t-1）+f（t-1）＜0，∴f（2t-1）＜-f（t-1）； …（6分）
又由已知函数f（x）是（-1，1）上的奇函数，∴f（-t）=-f（t）…（8分）
∴f（2t-1）＜f（1-t）…（3分）
由（2）可知：f（x）是（-1，1）上的增函数，…（10分）
∴2t-1＜1-t，t＜

2

3

，又由-1＜2t-1＜1和-1＜1-t＜1得0＜t＜

2

3

综上得：0＜t＜

2

3

…（13分）

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，充分理解以上性质是解决问题的关键．利用已证结论解决问题是常用的方法，注意体会和使用．