【题目】已知函数f(x)=x2++alnx.
(Ⅰ)若f(x)在区间[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设f(x)的导数f’(x )的图象为曲线C ,曲线C 上的不同两点A (x1, y1) ,B (x2,y 2) 所在直线的斜率为k ,求证:当a≤4时,|k|>1.
【答案】(Ⅰ)a≥-7;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)将单调性的问题转化为恒成立的问题求解可得实数a的取值范围是a≥-7;
(2)原问题等价于于||>|x1-x2|,据此结合题意和绝对值不等式的性质即可证得题中的结论.
试题解析:
(Ⅰ)由f(x)=x2++aln x,得f'(x)=2x-+,
由已知得2x-+≥0在x∈[2,3]上恒成立,即a≥-2x2 恒成立.
设g (x)=-2x ,则g'(x )=--4x <0,所以g(x)在x∈[2,3]上单调递减,
g(x)max =g(2)=-7,所以a≥-7.
(Ⅱ)证明:|k|>1等价于||>1,等价于||>|x1-x2|,
而||=|
=|x1-x2|·|2+-|
所以只需要证明|2+-|>1.
即a<x1+x2+或a>3x1+x2+,
而a>3x1+x2+,显然不可能对一切正实数x1x2 均成立,
所以只需要证a<x1+x2+成立.
因为x1+x2+>x1x2+,设t=,M(t)=t2+(t>0)
得M’(t)=2t-当t=时M’(t)=0
在t∈(0,)上,M(t)递减;在t∈(,+∞)上,M(t)递增
所以M(t)≥3=>4≥a,所以a<x1x2+
所以||>1,即当a≤4时,|K|>1.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出三种函数模型:f(x)=xn(n>0),g(x)=ax(a>1)和h(x)=logax(a>1).根据它们增长的快慢,则一定存在正实数x0 , 当x>x0时,就有( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.h(x)>g(x)>f(x)
C.f(x)>h(x)>g(x)
D.g(x)>f(x)>h(x)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100 , 则(a0+a2+a4+…+a100)2﹣(a1+a3+a5+…+a99)2的值为( )
A.1
B.﹣1
C.0
D.2
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛(任意两个参赛队伍只比赛一场),有高一、高二、高三共三个队参赛,高一胜高二的概率为,高一胜高三的概率为,高二胜高三的概率为,每场胜负相互独立,胜者记1分,负者记0分,规定:积分相同时,高年级获胜.
(1)若高三获得冠军的概率为,求;
(2)记高三的得分为,求的分布列和期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x2﹣2ax+a在区间(1,3)内有极小值,则函数g(x)= 在区间(1,+∝)上一定( )
A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)的定义域为(﹣2,2),函数g(x)=f(x﹣1)+f(3﹣2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设f(x)=1﹣,求解:(1)f(x)的值域;(2)证明f(x)为R上的增函数. .
(1)求f(x)的值域;
(2)证明f(x)为R上的增函数.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com