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【题目】已知函数f(x)=x2++alnx.

(Ⅰ)若f(x)在区间[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)设f(x)的导数f’(x )的图象为曲线C ,曲线C 上的不同两点A (x1, y1) ,B (x2,y 2) 所在直线的斜率为k ,求证:当a≤4时,|k|>1.

【答案】(Ⅰ)a≥-7;(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析:

(1)将单调性的问题转化为恒成立的问题求解可得实数a的取值范围是a≥-7;

(2)原问题等价于于||>|x1-x2|,据此结合题意和绝对值不等式的性质即可证得题中的结论.

试题解析:

Ⅰ)由f(x)=x2++aln x,得f'(x)=2x-+,

由已知得2x-+≥0x[2,3]上恒成立,即a-2x2 恒成立.

g (x)=-2x ,则g'(x )=--4x <0,所以g(x)x[2,3]上单调递减,

g(x)max =g(2)=-7,所以a≥-7.

Ⅱ)证明:|k|>1等价于||>1,等价于||>|x1-x2|,

||=|

=|x1-x2|·|2+-|

所以只需要证明|2+-|>1.

ax1+x2+a>3x1+x2+

a>3x1+x2+,显然不可能对一切正实数x1x2 均成立,

所以只需要证ax1+x2+成立.

因为x1+x2+x1x2+,设t=,M(t)=t2+(t>0)

M’(t)=2t-t=M’(t)=0

t(0,)上,M(t)递减;在t,+∞)上,M(t)递增

所以M(t)≥3=>4≥a,所以ax1x2+

所以||>1,即当a≤4时,|K|>1.

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