Question

设n、k为互素自然数，0＜k＜n，在集合M＝{1，2，…，n－1｝(n≥3)中的各数，要么着蓝色，要么着白色，已知

(1)对于各i∈M，i和n－i同色；

(2)对于各i∈M，i≠k， i和|i－k|同色．

证明：在M中的所有数均同色．

Answer 1

证明：设lk＝nq_l＋r_l(l＝1，2，…，n－1；1≤r_l≤n－1)．若r_l＝r_l＇，则(l－l＇)k被n整除，但n、k互素，所以n|(l－l＇)这表明在l＝1，2…，n－1时，r₁，r₂，…，r_n－1互不相同，所以M＝｛r₁，r₂，…，r_n－1｝．

若r_l＜n－k，即r_l＋k＜n，则r_l＋1＝r_l＋k，由条件(2)，r_l＋1与r_l＋1－k＝r_l同色．

若r_l≥n－k，即r_l＋k≥n，则r_l＋1＝r_l＋k－n，于是r_l＋1与k－r_l＋1＝n－r_l同色．再由条件(1)n－r_l与r_l同色．

综上所述，r_i＋1与r_l同色(l＝1，2，…，n－2)，因此M中所有数同色．