Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形．∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：PH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EO∥PC．由此能够证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）连接OP，因为PB=PD，所以OP⊥BD．在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．由此能够证明PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD．以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．得，，．设=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，由，得．由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，
所以EO∥PC
又EO?平面BDE，PC?平面BDE．
所以PC∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：连接OP，
因为PB=PD，
所以OP⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以．
又，H为OC的中点，所以PH⊥OC．
又因为BD∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD．
如图，以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
可得，，B（0，1，0），，
，．
所以，，．
设=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，
则，即，
令x=1，则．．
设直线CE与平面PAB所成的角为θ，
．
所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．
点评：本题考查直线和平面平行、直线和平面垂直的证明方法和求直线与平面在所成角的正弦值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．