Question

已知函数y=3sin2x+2

3

sinxcosx-3cos2x，（x∈R），
（1）写出这个函数的振幅，初相和最小正周期；
（2）求y的最大值及此时x的值；
（3）写出这个函数的单调增区间；
（4）画出这个函数的图象，并说出它是怎样由y=sinx的图象变换而得到的？

Answer 1

分析：利用二倍角及辅助角公式化简y=3sin2x+2

3

sinxcosx-3cos2x可得，y=2

3

sin(2x-

π

3

)，根据三角函数的性质可分别求解

解答：解：函数y=3sin2x+2

3

sinxcosx-3cos2x
=3(sin2x-cos2x)+ 

3

sin2x
=

3

sin2x-3cos2x
∴y=2

3

sin(2x-

π

3

)
（1）振幅A=2

3

3’初相为-

π

3

4’最小正周期为π5’
（2）当x=kπ+

5π

12

(k∈z)时，ymax=2

3

7’
（3）单调增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]8’
（4）右移

π

3

个单位，横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标变为原来的2

3

倍

点评：本题主要考查看三角函数的性质的求解，解题的关键是利用二倍角及辅助角公式对函数化简为y=Asin（wx+∅）的形式，熟练掌握正弦函数的性质是解决本题的令一个关键．