Question

已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．

 

Answer 1

(1)3e(2) 所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.由a≠知，－2a≠a－2.

以下分两种情况讨论．

①若a>，则－2a<a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－2a)	－2a	(－2a，a－2)	a－2	(a－2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a