考点:用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法
专题:综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)连结AB1,交A1B于点O,连结OD,利用三角形的中位线定理,推导出OD∥B1C,由此能够证明B1C∥平面A1BD.
(2)以D为坐标原点,以DC为x轴,以DB为y轴,以过D点垂直于AC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面A1BD的法向量,即可求出点B1到平面A1BD的距离;
(3)利用向量法能求出二面角A1-BD-B1的余弦值.
解答:
解:(1)连结AB
1,交A
1B于点O,连结OD,
∵在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AA
1=AB=BC=3,
∴ABB
1A
1是正方形,∴O是AB
1的中点,
∵D是AC的中点,∴OD是△ACB
1的中位线,∴OD∥B
1C,
∵B
1C不包含于平面A
1BD,OD?平面A
1BD,
∴B
1C∥平面A
1BD.
(2)以D为坐标原点,以DC为x轴,以DB为y轴,
以过D点垂直于AC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
∵AA
1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点,
∴A
1(-1,0,3),B(0,2
,0),
D(0,0,0),B
1(0,2
,3),
∴
=(-1,0,3),
=(0,2
,0),
=(0,2
,3),
设平面A
1BD的法向量
=(x,y,z),则
,
∴
=(3,0,1),
∴d=
=
;
(3 )平面B
1BD的法向量为
=(1,0,0),
∴cos<
,
>=
,
∴二面角的余弦值为
.
点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要注意向量法的合理运用.