Question

【题目】已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣x2 ．
（1）求x＜0时f（x）的解析式；
（2）问是否存在正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[ ， ]？若存在，求出所有的a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵当x≥0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+2x，

∴当x＜0时，f（x）=x2+2x

（2）解：由题得，g（x）=﹣x2+2x，

当0＜a＜b＜1时， ，解得a=b= ，不合题意，舍去；

当0＜a＜1≤b时，g（x）的最大值为g（1）=1= ，∴b=2，

又g（b）=g（2）=0[ ， ]，

∴b=2不合题意，舍去；

当1≤a＜b时， ，无解，舍去．

综上，不存在正数a，b的值满足题意

【解析】（1）由题意，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=2x﹣x2 ， 要求x＜0时，f（x）的解析式，可选取x＜0，得到﹣x＞0，代入x≥0时时的解析式，得到f（﹣x），再由f（﹣x）=﹣f（x），两者联立，即可求得x＜0时，f（x）的解析式，（2）由题意，x＞0时，g（x）=﹣x2+2x，分类讨论，结合g（x）的值域为[ ， ]，即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．