Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，点A（0，1）与双曲线上的点的最小距离是$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得双曲线方程可化为x²-4y²=4b²，点A（0，1）与双曲线上的点的距离$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{5（y-\frac{1}{5}）^{2}+4{b}^{2}+\frac{4}{5}}$，利用点A（0，1）与双曲线上的点的最小距离是$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，求出b，即可求双曲线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴a=2b，
∴双曲线方程可化为x²-4y²=4b²，
点A（0，1）与双曲线上的点的距离$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{5（y-\frac{1}{5}）^{2}+4{b}^{2}+\frac{4}{5}}$，
∴y=$\frac{1}{5}$时，点A（0，1）与双曲线上的点的最小距离是$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{4}{5}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，∴b=1，
∴a=2，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查两点间的距离公式，考查配方法，属于中档题．