Question

已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0时的表达式；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）=ax（a∈R）有解，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴x==2，得b=4，
又∵f（2）=-4+4×2+c=2，∴c=-2，
当x＞0时，f（x）=-x²+4x-2．
（2）由（1）得，当x＞0时f（x）=-x²+4x-2，
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-（-x）²+4（-x）-2=-x²-4x-2，
∵f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=x²+4x+2．
（3）由题意，只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，∴a=-x-+4≤，
即a的取值范围是（-∞，-2+4]．
分析：（1）由f（1）=f（3）可知图象对称轴为x=2，由此可求b，再由f（2）=2，可求c，从而求b，c的值；
（2）当x＜0时，-x＞0，由已知表达式可求f（-x），再由奇函数的性质可求f（x）；
（3）由奇函数性质，只需程f（x）=ax在（0，+∞）上有解即可，分离参数后可求a的取值范围．
点评：本题考查函数的解析式的求解及方程解的存在问题，考查分离参数法求参数的范围．