Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=I(a＞0，b＞)的离心率为

3

，右焦点为F，过点M（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，并且

FA

•

FB

=4．
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点F作直线l交双曲线C右支于P，Q两点，问在原点与右顶点之间是否存在点N，使的无论直线l的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

Answer 1

分析：（1）依题意可分别求得a和b，a和c的关系代入双曲线的方程，设出A，B的坐标利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用直线方程求得y₁y₂的表达式，进而利用

FA

•

FB

=4得关于a的方程求得a，则b可求．则椭圆的方程可得．

解答：解：（1）由题意知b²=2a²，c²=3a²，代入双曲线得x²+2x-1-2a²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2a²-1，y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2a²+2．
又F(

3

a，0)，则

FA

=(x1-

3

a，y1)，

FB

=(x2-

3

a，y2)，
得

FA

•

FB

=x1x2-

3

a(x1+x2)+3a2+y1y2=4，
∴a2-2

3

a+3=0，
∴a=

3

，a2=3，b2=6，方程为

x2

3

-

y2

6

=1．
（2）直线l：y=k（x-3），(k≠

3

)．设P（x，y），Q（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
联立方程得（2-k²）x²+6k²x-9k²-6=0，
得x3+x4=

6k2

k2-2

，x3x4=

9k2+6

k2-2

，kPN=

k(x3-3)

x3-x

，kQN=

k(x4-3)

x4-x

．
∵∠PNF=∠QNF，
∴k_PN+k_QN=

k(x3-3)

x3-x

+

k(x4-3)

x4-x

=

k(8k2+12-18k2-12x)

(x3-x)(x4-x)(k2-2)

=0，
∴x=1， 0＜x＜

3

，所以存在点N．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和推理能力，基本的运算能力．