Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．∵对于任意x∈R都有f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=﹣ ，即﹣ =﹣ ，得a=b．

又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b=1，a=1．∴f（x）=x2+x．

（2）解：解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=

①当x≥ 时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为x= ，若 ≤ ，即0＜λ≤2，函数g（x）在（ ，+∞）上单调递增；

则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．

②若 ＞ ，即λ＞2，函数g（x）在（ ，+∞）上单调递增，在（ ， ）上单调递减．

此时 ＜ ＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（ ）= + ＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|，

（ⅰ）若2＜λ≤3，由于 ＜ ≤1，且g（ ）=（ ）2+（1﹣λ） +1=﹣ +1≥0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；

（ⅱ）若λ＞3，由于 ＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．

综上所述，当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．

【解析】1、由题意可得f（0）=0，∴c=0．∵对于任意x∈R都有f（﹣ +x）=f（﹣ ﹣x），由对称轴x=﹣ ，可得f（x）的对称轴即得a=b，由题意可得f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．
2、由（1）可得g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=.分情况讨论
①当x≥ 时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为x= ,即
②当x<，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为X=<同①的讨论思路。
3、结合（2）中的单调区间即零点存在定理进行判断函数g（x）的零点。
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．