【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为,,左、右焦点分别为,,离心率为,点,为线段的中点.
()求椭圆的方程.
()若过点且斜率不为的直线与椭圆交于、两点,已知直线与相交于点,试判断点是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)点在定直线上.
【解析】
试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程,一般方法为待定系数法,即根据条件建立关于的两个独立条件,再与联立方程组,解出的值,(Ⅱ)先根据特殊直线或椭圆几何性质确定定直线,再根据条件证明点横坐标为1.由题意设两点坐标,用两点坐标表示点横坐标.根据直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得两点坐标关系(用直线斜率表示),并代入点横坐标表达式,化简可得为定值.
试题解析: (Ⅰ)设点,由题意可知:,即 ①
又因为椭圆的离心率,即 ②
联立方程①②可得:,则
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)方法一:根据椭圆的对称性猜测点是与轴平行的直线上.
假设当点为椭圆的上顶点时,直线的方程为,此时点 ,
则联立直线和直线可得点
据此猜想点在直线上,下面对猜想给予证明:
设,联立方程可得:
由韦达定理可得, (*)
因为直线,,
联立两直线方程得(其中为点的横坐标)即证:,
即,即证
将(*)代入上式可得
此式明显成立,原命题得证.所以点在定直线上上.
方法二:设,两两不等,
因为三点共线,所以,
整理得:
又三点共线,有: ①
又三点共线,有: ② 将①与②两式相除得:
即,
将即代入得:
解得(舍去)或,所以点在定直线上.
方法三:显然与轴不垂直,设的方程为,.
由得.
设,两两不等,
则,,
由三点共线,有: ①
由三点共线,有: ②
①与②两式相除得:
解得(舍去)或,所以点在定直线上.
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【题目】如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直, ,,点在线段上.
(Ⅰ) 若点为的中点,求证:平面;
(Ⅱ) 求证:平面平面;
(Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时,求的长.
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【题目】设有关于的一元二次方程.
(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(Ⅱ)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】已知(m,n为常数),在处的切线方程为.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若,使得对上恒有成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点,求证:.
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 |
温差() | 11 | 13 | 12 |
发芽数(颗) | 25 | 30 | 26 |
(1)请根据12月2日至12月4日的数据,求出关于的线性回归方程;
(2)该农科所确定的研究方案是:先用上面的3组数据求线性回归方程,再选取2组数据进行检验.若12月5日温差为,发芽数16颗,12月6日温差为,发芽数23颗.由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
注:,.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,A是椭圆短轴的一个端点,直线AF与椭圆另一交点为B,且.
(1)求椭圆方程;
(2)若斜率为1的直线l交椭圆于C,D,且CD为底边的等腰三角形的顶点为,求的值.
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态.现对他前5次考试的数学成绩x,物理成绩y进行分析.下面是该生前5次考试的成绩.
数学 | 120 | 118 | 116 | 122 | 124 |
物理 | 79 | 79 | 77 | 82 | 83 |
附..
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程;
我们常用来刻画回归的效果,其中越接近于1,表示回归效果越好.求.
已知第6次考试该生的数学成绩达到132,请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少?
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