Question

抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点是离心率为

2

的双曲线：32y²-mx²=1的一个焦点，正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x-4上，则该正方形的面积是（　　）

• A、18或25
• B、9或25
• C、18或50
• D、9或50

Answer 1

分析：离心率为

2

的双曲线：32y²-mx²=1，可解得m=32，此是一等轴双曲线，求得它的焦点，再由抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点是离心率为

2

的双曲线：32y²-mx²=1的一个焦点，求得抛物线的标准方程，根据正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x-4上，求正方形的面积即可．

解答：解：由题意双曲线的离心率为

2

，故此双曲线是一个等轴双曲线，所以m=32
可得c²=

1

32

+

1

32

=

1

16

，可得c=

1

4

由于抛物线与双曲线的焦点相同，故p=

1

2

，抛物线E：x²=y
令直线AB的方程是y=x-b，代入抛物线E：x²=y得x²=x-b，
故有x_A+x_B=1，x_A×x_B=-b
由此得弦长AB为

2

×

1+4b

=

2+8b

又直线AB与直线CD两平行线的距离是

|b+4|

2

由题意知

|b+4|

2

=

2+8b

，解得b=2，或b=6
当b=2时，正方形的边长为

2+8×2

=3

2

，其面积是18
当b=6时，正方形的边长为

2+8×6

=5

2

，其面积是50
故选C．

点评：本题考查抛物线的应用，解题的关键是根据题设条件解出抛物线的方程，然后设出直线AB的方程利用弦长公式用参数表示出弦长AB，再由两平行线的间的距离公式求出两平行线间的距离，由正方形的边长相等建立关于参数的方程求出参数，本题运算量大，综合性强，且都是符号运算，故解题时要严谨认真，避免出错．