Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₈=$\frac{π}{2}$，若函数f（x）=sin2x-2cos²$\frac{x}{2}$，设c_n=f（a_n），则数列{c_n}的前15项的和为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 15
• D． -15

Answer 1

分析 等差数列{a_n}中，a₈=$\frac{π}{2}$，可得a₁+a₁₅=a₂+a₁₄=…=2a₈=π．函数f（x）=sin2x-2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x-cosx-1，又c_n=f（a_n），可得c₁+c₁₅=f（a₁）+f（a₁₅）=2sin（a₁+a₁₅）cos（a₁-a₁₅）-2=-2．即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，a₈=$\frac{π}{2}$，
∴a₁+a₁₅=a₂+a₁₄=…=2a₈=π
函数f（x）=sin2x-2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x-cosx-1，
又c_n=f（a_n），
∴c₁+c₁₅=f（a₁）+f（a₁₅）=sin2a₁-cosa₁-1+sin2a₁₅-cosa₁₅-1=2sin（a₁+a₁₅）cos（a₁-a₁₅）-2=-2．
f（a₈）=$sinπ-cos\frac{π}{2}$-1=-1．
∴数列{c_n}的前15项的和=-2×7-1=-15．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数的化简，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．